Penrose-fedés

Hogyan készültek a Penrose-rajzok?

Ez a szöveg a Penrose-rajzok geometriájának ismertetése. A rajzok alapja a Penrose-fedés, vagy ahogy Perneczky Géza fordította: a Penrose-parketta. A geometria egy ága a sík lefedésével foglalkozik. Azzal, hogy síkidomok adott csoportjával le lehet-e fedni egy végtelen síkot anélkül, hogy rések maradnának közöttük, vagy nem. Ha pedig a síkot lefedik a síkidomok, a kapott mintázat elemzésével foglalkozik. Például osztályozza a fedéseket.

Periodikus fedés hatszögekből és négyszögekbőlPeriodikus fedés hatszögekből és négyszögekből\

A fedések egyik fajtája a periodikus fedés. Ilyen például egy négyzetekből álló rács, vagy egy szabályos hatszögekből álló mozaikpadló.

Ránézve az említett példákat ábrázoló rajzokra azonnal világosan látszik, miért nevezik periodikusnak ezeket a fedéseket. Matematikailag a periodikusság feltétele az, hogy a fedés egy tetszőleges darabját körbevágva azt eltolással vissza lehessen illeszteni a fedés egy másik helyére.

A kivágott darab eltolással visszailleszthető

A fedések másik fajtája nem periodikus. Ez nem feltétlenül azt jelenti, hogy a kapott minta kaotikus, vagy nem követ semmilyen szabályt. Valójában kiábrándítóan egyszerű nem periodikus fedést létrehozni.

Az előbb említett négyzetek létrehozta fedés egy variációja, ha a négyzetet egy tetszőleges szakasszal két részre osztjuk. Ezzel az osztással két síkidomot kapunk, amik az első ábrán még periodikus fedést adnak. A négyzeteket idomonként véletlenszerűen elforgatva nem periodikus fedést kapunk.

periodikus és nem periodikus fedés kétféle négyszögbőlperiodikus és nem periodikus fedés kétféle négyszögből

Ez csak a legegyszerűbb példa. Van azonban egy jól megfigyelhető tulajdonsága: az idomokból egyaránt kialakítható periodikus és nem periodikus fedés. A nyolcvanas évek elejéig a matematikusok úgy gondolták, hogy a fedések e két fajtája létezik. Egyszerűen senkinek sem jutott eszébe, hogy olyan fedésekre gondoljon, amik csak nem periodikusak lehetnek. A kizárólag nem periodikus fedéseket létesítő idomokat aperiodikusnak nevezték el. [Az első bizonyítottan aperiodikus fedés több, mint huszonötezer féle síkidomból állt. Az idomoknak nem volt különösen izgalmas formájuk (vizuális szempontból legalábbis), négyzetek voltak, négy oldalukon mindenféle lyukakkal és ezekbe beleillő szarvacskákkal. Wang-dominónak is nevezték őket, az alkotójuk után.]

Penrose-fedés - az idomok rajza kikényszeríti a nem periodikus fedéstPenrose-fedés - az idomok rajza kikényszeríti a nem periodikus fedést

A Penrose-fedés is aperiodikus, tehát az idomok rendje nem ismétlődik. Ahogy az ábrán látni lehet, kétféle rombuszból áll. A rombuszok mellé tartozik néhány egyszerű szabály is, nem lehet őket tetszés szerint összeilleszteni. Könnyű kitalálni egy mintázatot, ami szabályozza az idomok összeillesztését. Eredetileg (tán a Wang-dominó örökségeként) kis rések és kiemelkedések voltak a rombuszok oldalain, de a mintázat sokkal szemléletesebb. Az idomokat csak úgy lehet összeilleszteni, hogy a sötétebb mezők a szomszédos idom sötétebb mezőivel, a világosabbak a világosabbakkal találkozzanak.

A Penrose-fedésnek sok érdekes tulajdonsága van, ami a rajzok szempontjából lényeges: az idomok rendje sohasem ismétlődik. Mind a 100 rajz egy Penrose-fedésnek ugyanazt a részletét ábrázolja (Valójában csak egyPenrose-fedés van.). A Penrose-fedés rombuszait kis rajzokra cseréltem fel, így az eredeti struktúra (a rombuszok) nem látszik. A kis rajzok lényege, hogy a vonalak a rombuszok széleinél találkoznak. A képen a lehető legegyszerűbb példa látható. A kis rajz a kétféle rombusz átlóiból áll.

A Penrose-fedés két idomaA Penrose-fedés két idoma

A Penrose-fedés ezekből az idomokból épül fel, úgy, hogy az eredeti idomok (a szürke rombuszok) a kész rajzon egyáltalán nem látszanak, csak az átlók.

A Penrose-fedés eredeti rombuszai bármilyen rajzzal behelyettesithetők. Az én rajzaimban szinte csak egyenes szakaszokat alkalmaztam, és a rombuszok oldalát a rajz vonalai mindkét idom mind a négy oldalán ugyanott metszi. A példánkban a két idomon ugyanaz a rajz szerepel, csak az arányok mások a rombuszok arányainak megfelelően. (Mindkét rajz az átlókból áll.) Némelyik rajznál kétféle idomon különböző jellegű rajzokat is alkalmaztam.)

Az eredeti rombuszok akármilyen rajzzal kicserélhetőek


Tilings and patterns, B.Grünbaum and G.C. Shephard. W.H.Freeman & Co. 1986.
Mathemathical games , M.Gardner. Scientific American, January 1977 p.110-121.
Pentaplexity, R. Penrose. Geometrical combinatories, F.C. Holroyd & R.J. Wilson eds. Pitman 1984.

Igazmondók

Biztosan van a karikatúrának és a képzőművészetnek egy közös halmaza, talán valahol Bansky környékén. Ennek ellenére mégsem gondolom, hogy feLugossy László, Bogdándy Szultán Zoltán, vagy akár Baranyai (b) András munkáival közös térben kiállított karikatúrák megadnák az igazmondás élményét. Mondhatni: kölcsönösen gyengítik egymást. Nem holmi esztétikai finnyázás ez. Egyszerűen az egy négyzetméterre eső komplexitás nincs meg bennük.

Igazmondók

Megtalált illúziók

A természettudományt ismerjük. Iskolás napjainkat végigkísérte tantárgyak formájában, felnőtt napjainkban műsorként jelentkezik a kábeltévé kínálatának alsó harmadában.

Megtalált illúziók

Különös mobil teremtmények

A művészetelmélet a kinetikus művészet nevet találta a mozgó vagy mozgatható művészet számára. Nem túl fantáziadús név. A kiállításon történő művészetfogyasztás természeténél fogva feltételezi, hogy a műtárgyak egy helyben maradnak. Talán ezért nem nevezzük közös, összefoglaló néven mondjuk statikus művészetnek az összes többi műtárgyat. A technika jelenlegi állása szerint könnyen arra a következtetésre juthatunk, hogy kinetikus mű az, amit be kell dugni a konnektorba.

Különös mobil teremtmények

A szent előszobája

Ne ott kezdjük, hogy van-e Isten, és ha van, vajon kedveli-e a kortárs művészetet?

A szent előszobája

A végtelen szalag

A matematika ártatlannak tűnő dolog. Mit is mond Archimédész a rá törő katonáknak? Ne zavard köreimet. Igazi tudóshoz méltó magatartás. Sokat levon a dolog méltóságából, hogy ezt megelőzően görbe tükrei segítségével távolról egy egész hajóhadat felgyújtott.

A végtelen szalag

Bontott téglák Bábel tornyából

Mit gondoljon az ember, ha ötezer téglát pillant meg a Kiscelli Múzeum padlóján?

Bontott téglák Bábel tornyából

Jovánovics György: Ditirambikus retrospektív / L.W. J.Gy.-vel sakkozik

A művészettörténet (és a közbeszéd) sok művet tart számon titokzatosként, mint a Mona Lisa, Duchamp Nagy Üvege vagy Csontváry képei. Ezek a művek valahogy nem állhatják a verbális megközelítést, innen a titokzatosság. Nem így Jovánovics György művei. Azok egyenesen kínálkoznak, hogy rántsuk le róluk a leplet. Ki mennyit csak tud.

Jovánovics György: Ditirambikus retrospektív / L.W. J.Gy.-vel sakkozik

Válaszúton

Én azt hiszem, hogy a szellem végül felülemelkedik a formán, de azt tudom, hogy ez nem történik meg magától.

Válaszúton

A hiány, mint erény

Várnai Gyula új munkái titokzatosak. Alig néhány elemből épülnek össze, esztétikai értelemben véve egyszerűek, mint egy ék vagy egy emelő.

A hiány, mint erény

Tárlatvezető

A számítógépet övező dicsfénynek vége, a festők zöme visszatért az összepöttyözött nadrághoz, meg a terpentinszaghoz.

Tárlatvezető

Tökéletes narancs

A tudomány csodái holtbiztosan bekövetkeznek.

Tökéletes narancs

Mit jelent egy elképzelés a képzőművészetben?

Én nem akartam választani. Nem akartam a legjobbat, a kivételest. Én az összes variációt meg akartam csinálni.

Mit jelent egy elképzelés a képzőművészetben?

Műelemzés

Megismertem egy idegen világ szokásait, megtanultam a nyelvét, hordtam a viseletét, ettem az étkeit. De nem lettem kínai, ahogy Marco Polo sem lett az.

Műelemzés

Önfestő képek

Végül: festmények-e ezek egyátalán?

Önfestő képek

Az IFS-ről

Az IFS az angol Iterated Function System (iterált egyenletrendszer) matematikai szakkifejezés betűszava. Ez az írás egy iterált egyenletrendszert mutat be, főként matematikában járatlanok számára.

Az IFS-ről