Penrose-fedés

Hogyan készültek a Penrose-rajzok?

Ez a szöveg a Penrose-rajzok geometriájának ismertetése. A rajzok alapja a Penrose-fedés, vagy ahogy Perneczky Géza fordította: a Penrose-parketta. A geometria egy ága a sík lefedésével foglalkozik. Azzal, hogy síkidomok adott csoportjával le lehet-e fedni egy végtelen síkot anélkül, hogy rések maradnának közöttük, vagy nem. Ha pedig a síkot lefedik a síkidomok, a kapott mintázat elemzésével foglalkozik. Például osztályozza a fedéseket.

periodikus fedés hatszögekbőlperiodikus fedés négyzetekből

A fedések egyik fajtája a periodikus fedés. Ilyen például egy négyzetekből álló rács, vagy egy szabályos hatszögekből álló mozaikpadló.

Ránézve az említett példákat ábrázoló rajzokra azonnal világosan látszik, miért nevezik periodikusnak ezeket a fedéseket. Matematikailag a periodikusság feltétele az, hogy a fedés egy tetszőleges darabját körbevágva azt eltolással vissza lehessen illeszteni a fedés egy másik helyére.

a kivágott darab eltolással visszailleszthető

A fedések másik fajtája nem periodikus. Ez nem feltétlenül azt jelenti, hogy a kapott minta kaotikus, vagy nem követ semmilyen szabályt. Valójában kiábrándítóan egyszerű nem periodikus fedést létrehozni.

Az előbb említett négyzetek létrehozta fedés egy variációja, ha a négyzetet egy tetszőleges szakasszal két részre osztjuk. Ezzel az osztással két síkidomot kapunk, amik az első ábrán még periodikus fedést adnak. A négyzeteket idomonként véletlenszerűen elforgatva nem periodikus fedést kapunk.

periodikus fedés kétféle négyszögbőlnem periodikus fedés ugyanazokból a négyszögekből

Ez csak a legegyszerűbb példa. Van azonban egy jól megfigyelhető tulajdonsága: az idomokból egyaránt kialakítható periodikus és nem periodikus fedés. A nyolcvanas évek elejéig a matematikusok úgy gondolták, hogy a fedések e két fajtája létezik. Egyszerűen senkinek sem jutott eszébe, hogy olyan fedésekre gondoljon, amik csak nem periodikusak lehetnek. A kizárólag nem periodikus fedéseket létesítő idomokat aperiodikusnak nevezték el. [Az első bizonyítottan aperiodikus fedés több, mint huszonötezer féle síkidomból állt. Az idomoknak nem volt különösen izgalmas formájuk (vizuális szempontból legalábbis), négyzetek voltak, négy oldalukon mindenféle lyukakkal és ezekbe beleillő szarvacskákkal. Wang-dominónak is nevezték őket, az alkotójuk után.]

Penrose-fedés az idomok rajza kikényszeríti a nem periodikus fedést

A Penrose-fedés is aperiodikus, tehát az idomok rendje nem ismétlődik. Ahogy az ábrán látni lehet, kétféle rombuszból áll. A rombuszok mellé tartozik néhány egyszerű szabály is, nem lehet őket tetszés szerint összeilleszteni. Könnyű kitalálni egy mintázatot, ami szabályozza az idomok összeillesztését. Eredetileg (tán a Wang-dominó örökségeként) kis rések és kiemelkedések voltak a rombuszok oldalain, de a mintázat sokkal szemléletesebb. Az idomokat csak úgy lehet összeilleszteni, hogy a sötétebb mezők a szomszédos idom sötétebb mezőivel, a világosabbak a világosabbakkal találkozzanak.

A Penrose-fedésnek sok érdekes tulajdonsága van, ami a rajzok szempontjából lényeges: az idomok rendje sohasem ismétlődik. Mind a 100 rajz egy Penrose-fedésnek ugyanazt a részletét ábrázolja (Valójában csak egyPenrose-fedés van.). A Penrose-fedés rombuszait kis rajzokra cseréltem fel, így az eredeti struktúra (a rombuszok) nem látszik. A kis rajzok lényege, hogy a vonalak a rombuszok széleinél találkoznak. A képen a lehető legegyszerűbb példa látható. A kis rajz a kétféle rombusz átlóiból áll.

Penrose-fedés nagyobbik idomaPenrose-fedés kisebbik idoma

A Penrose-fedés ezekből az idomokból épül fel, úgy, hogy az eredeti idomok (a szürke rombuszok) a kész rajzon egyáltalán nem látszanak, csak az átlók.

az eredeti rombuszok akármilyen rajzzal kicserélhetőek

A Penrose-fedés eredeti rombuszai bármilyen rajzzal behelyettesithetők. Az én rajzaimban szinte csak egyenes szakaszokat alkalmaztam, és a rombuszok oldalát a rajz vonalai mindkét idom mind a négy oldalán ugyanott metszi. A példánkban a két idomon ugyanaz a rajz szerepel, csak az arányok mások a rombuszok arányainak megfelelően. (Mindkét rajz az átlókból áll.) Némelyik rajznál kétféle idomon különböző jellegű rajzokat is alkalmaztam.)


Tilings and patterns, B.Grünbaum and G.C. Shephard. W.H.Freeman & Co. 1986.
Mathemathical games , M.Gardner. Scientific American, January 1977 p.110-121.
Pentaplexity, R. Penrose. Geometrical combinatories, F.C. Holroyd & R.J. Wilson eds. Pitman 1984.

Művészet